Sulle pietre, un triangolo pieno di buchi

Questa immagine rappresenta un triangolo “Sierpiński”, disegnato con il gesso su Place Carnot, a Lione. L’abbiamo creato all’età di dodici anni, di cui cinque bambini, in due ore, nell’ambito del progetto # matematico.

L’obiettivo di #StreetMath è creare opere artistiche e civiche di ispirazione sportiva. È un laboratorio di esplorazione urbana aperto a tutti. La nostra attività nei cantieri di Lione è effimera e scompare con la pioggia. Se vivi a Lione o non lontano, Vieni, unisciti a noi !

Allora, cosa stavamo disegnando quel giorno?

Una mappa dove ogni punto è un bivio?

Siamo ragionevolmente delusi dal formaggio pieno di buchi – non c’è quasi niente da mangiare! D’altra parte, matematicamente, tale formaggio può essere molto attraente.

Un esempio di oggetto agrifoglio è il triangolo di Sierpiński. Prende il nome dal matematico polacco Wacław Sierpiński che, grazie a questo triangolo, nel 1915 risolse il seguente problema: trovare una mappa delle strade che Tutto Il punto sarà un bivio. Sentiamo subito che questa carta deve essere molto complessa…

Ecco come creare un triangolo Serpiskie. Prendi un triangolo equilatero completo. Quindi, disegna un foro triangolare, i cui vertici si trovano al centro dei bordi del triangolo iniziale: questo occupa un quarto della sua area. Continua a rimuovere il triangolo al centro di ogni triangolo che appare… fino all’infinito! La cifra ottenuta nel limite non ha più alcuno spazio, perché ad ogni fase di questo dimagrimento l’area totale viene moltiplicata per 0,75 (i restanti tre quarti).

Ed è più o meno una mappa di Sierpińsky, a parte i tre angoli del primo triangolo in cui la nostra bici deve ruotare di 60 gradi. Disponendo sei triangoli Sierpiński insieme in un esagono, il problema dell’angolo è stato risolto e la nostra mappa esagonale è pronta!

Triangolo di Sierpiński, riga per riga

Trova un posto lastricato. Prendi del gesso, invita i passanti a unirsi a te e inizia.

Il colore di uno dei ciottoli (preferibilmente al centro del bordo della piazza). Ora è uguale a 1, gli altri quadrati vuoti sono uguali a 0. Questo sarà il primo quadrato sopra il triangolo di Sierpiński. Nella riga sotto questo primo quadrato, ogni pezzo sarà la “somma” dei pezzi sopra di esso, con una specificità: 1 + 1 = 0! Scendi riga per riga. Vedrai apparire il triangolo di Sierpiński, in versione “a pois”!

Questo algoritmo ci ha permesso di disegnare il triangolo di Sierpiński dell’immagine in 128 linee. L’attrazione di questo motivo sta nella sua “auto-somiglianza”: è composto da tre copie più piccole di se stesso, ciascuna un triangolo con 64 lati quadrati. Pertanto, la grande figura può essere separata in tre parti indipendenti, sulle quali agiscono tre gruppi contemporaneamente. Un piccolo consiglio pratico: prima fare delle croci sul selciato prima di colorarle. Ciò renderà più facile correggere un bug che può diffondersi rapidamente e dare una spinta disegno conchiglia.

Inoltre, questo triangolo sembra più rettangolare di quanto non sia in realtà, ma è solo l’effetto della prospettiva!

Rimane una domanda

Ti starai chiedendo perché un processo di disegno che segue un semplice algoritmo riga per riga produce l’immagine di un triangolo Holly, simile a un triangolo Serpiski? Questa è un’ottima domanda! Ed è proprio questo lo scopo della matematica: trovare connessioni tra cose che sembrano non avere nulla in comune, ma che risultano descrivere la stessa cosa.

L’idea di base qui è che le file di quadrati i cui numeri sono Potenze di 2 (1, 2, 4, 8, 16, ecc.) Sono tutti riempiti e ciascuno forma la base di un triangolo forato. Ciò significa anche che le linee che seguono queste linee continue avranno solo due quadrati riempiti: uno all’inizio e uno alla fine della linea. Sono questi due ciottoli che risultano ciascuno in un nuovo triangolo con dei fori, simile a quello mostrato sopra.